Verso fuori.

Autore: Giovanni Ceribella Pagina 6 di 29

Calendario 2016

Immagine del mese di giugno del calendario 2016

Quest’anno non sono riuscito a procurarmi i soliti calendari. A casa ho una tale mania per il tempo che in media ogni stanza ne ha uno; in questo sono superati solo dagli orologi, che non sono nemmeno calcolabili: ce ne sono nei corridoi, in cucina, nei bagni, in cantina, sotto la tettoia delle macchine, sui comodini, vicino ai letti, dentro ai letti,…

Ad ogni modo, non avendo trovato un valido sostituto del modello di calendario che avevamo usato sin’ora, l’ho rifatto uguale io con il software per impaginazione Scribus. Se non lo conoscete, sappiate che è davvero migliorato da quando lo usavo nel 2006 per impaginare il giornalino della mia scuola. All’epoca bisognava salvare ogni volta che si modificava il testo in un riquadro perché altrimenti all’errore di segmentazione successivo si sarebbe perso tutto quanto. Oggi mostra ancora delle leggere “stravaganze”, ma è decisamente più utilizzabile.

Se a qualcuno serve un calendario semplice con una riga lunga per ogni giorno del mese, in modo da poterci scrivere cose tipo “POF”, “Collegio Docenti”, “Visitone h. 14:00-20.30” e affini, eccolo qui: Calendario mensile 2016. Vi avviso che mancano i santi. Solstizi ed equinozi sono invece già inclusi!

Inversione delle serie di potenze

Oggi torno, dopo un lungo periodo, a discutere di un argomento puramente teorico. Recentemente, un problema posto dal mio amico L mi ha portato a considerare la possibilità di invertire una serie di potenze. In altre parole, data una funzione espressa come serie di potenze in x, si vorrebbe un metodo per trovare la serie di potenze che definisce la sua inversa:

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n x^n\qquad\qquad g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}g_n x^n

g\circ f(x) = g(f(x)) = \sum_{i=1}^{+\infty}g_i \bigg({\sum_{j=1}^{+\infty}f_j x^j}\bigg)^i = x

Il problema è di una certa rilevanza poiché spesso le inverse non sono facilmente esprimibili in termini di funzioni “semplici” come quelle di partenza. Ad esempio, se si considera:

y = f(x) = x + \sin(x)

Si noterà subito che non esiste un numero finito di passaggi per trovare x in funzione di y. In effetti, tale relazione è un’equazione trascendente ed è il fulcro del problema posto dal mio amico: a lui serviva un’espressione approssimata per l’inversa, in modo da non dover ricorrere ogni volta ad un procedimento numerico per trovare una soluzione.

Ci sono molti modi per venirne a capo. Nutrendo ancora (nonostante i cinque anni di sofferenza) una passione segreta per la matematica, ho probabilmente seguito quello più teorico e avulso dalla realtà, l’unico vantaggio del quale è la sicurezza che esso tende, con l’aumentare della precisione, alla vera inversa. Naturalmente non è nulla di nuovo, cercando ben bene qualcosa in internet l’avevo pure trovato, ma scritto in modo tanto formale da risultare incomprensibile (e per queste parole mi perdoni C, un altro mio amico).

L’idea è di scrivere la funzione come serie di potenze e di determinare dai suoi coefficienti quelli dell’inversa. Dopo una giornata di conti, sono riuscito a trovare le relazioni che definiscono i coefficienti dell’inversa fino al settimo grado; per andare oltre, ho dovuto scrivere una piccola libreria in Python e metterla a punto per due giorni. Le prime relazioni sono:

{g_1} = \frac{1}{f_1}
g_2 = -\frac{f_2}{f_1^3}
g_3 = \frac{2f_2^2}{f_1^5} - \frac{f_3}{f_1^4}

Oltre alla prima, piuttosto ovvia, per ottenerle bisogna pareggiare i termini di grado uguale nello sviluppo della doppia sommatoria di cui sopra. Ciò conduce al problema delle partizioni degli interi (dove l’intero da partizionare è l’esponente del grado considerato) e alla loro rappresentazione tramite i diagrammi di Young o di Ferres. È chiaro dalle relazioni che esse valgono solo se la funzione “diretta” ha derivata diversa da zero sul punto dove è sviluppata, altrimenti l’inversa ha derivata divergente sullo stesso punto e lo sviluppo in serie di potenze intere cessa di essere possibile.

Ho scritto un breve documento dove delineo il procedimento teorico per ottenere le relazioni e risolvo il problema di x+sin(x). Potete accedervi da qui: Inversione di Serie di Potenze. Mi raccomando, non passate tutto il giorno a invertire serie di potenze, può far molto male. Non dite che non vi avevo avvertiti!

A presto!

L’estate

La Via Lattea nel Triangolo EstivoL’estate, coi suoi cieli tenui, la calura dei pomeriggi, il silenzioso vivacchiare delle piante, mi suggerisce sempre l’idea di un seme leggero, sospeso da una bava di vento, che va planando in giro, lentamente. (verso più tumultuosi terreni?)

Luglio prima e poi agosto portano una mite rassegnazione, una lieve eco lontana dell’autunno venturo, più risoluto e turbolento. No, non sono ancora i passati pungenti che visitano dolci il mese di settembre, la quiete bonaria continua, per ora, a rivestire i placidi sensi. Adagio, secondo movimento.

Intendiamoci, non che sia piatta e noiosa. Un nòcciolo traspare tra le frasche: è il sole che cade, ritorna. Ma si fa finta di niente, si va al mare con gli amici a trovare le conchiglie (chissà come stanno!) e stesi sulla spiaggia si fanno discorsi solenni, mentre Vega scorre pian piano lassù. Pare incantata. Che pace.

(La foto è di ieri sera, 12 agosto 2015. Un’ora d’esposizione sulla Via Lattea, nella regione del Triangolo Estivo)

Arco Circumorizzontale e Arcobaleno

Ho già scritto in passato dell’alone a 22°, un fenomeno ottico prodotto dalla rifrazione della luce solare sui cirri, alte nubi ghiacciate. Recentemente ho potuto osservare un altro evento inusuale, più raro del precedente e visibile solo in alcuni periodi dell’anno: è l’ arco circumorizzontale.

Frammento dell'arco circumorizzontale, 23.06.2015

Che roba è? Non si tratta di un normale arcobaleno (per quello leggete più avanti); infatti non solo non è necessario che piova, anzi per essere visibile non devono esserci nuvoloni temporaleschi in giro, ma non non è nemmeno curvo! Si presenta come una striscia orizzontale, più o meno diritta e bassa sotto il Sole, dai colori molto intensi. Affinché si formi l’arco circumorizzontale devono verificarsi due condizioni, una di carattere meteorologico e l’altra di tipo geometrico.

Il frammento di arco e la sua posizione rispetto al Sole

Bisogna che ci siano delle nubi cirriformi, ossia nubi di ghiaccio, nell’alta troposfera. I cristalli di ghiaccio che le compongono devono avere una forma esagonale piatta, come le piastrelle di certi pavimenti, ed essere disposti tutti con una delle due facce verso il basso, proprio come in un vero pavimento. Ho trovato questo carattere che mostra come si vedrebbe uno di questi cristalli dall’alto, riuscite a vederlo? ⬢

Il Sole dev’essere a più di 57,8° di altezza sull’orizzonte e illuminare il cirro, che al contrario dev’essere visto con un’angolatura bassa; questo è necessario perché la luce per poter uscire dalla faccia inferiore ed essere poi visibile deve entrare nel cristallo di lato (attraverso il bordo della “piastrella”) con un angolo molto alto, appunto più di circa 58°. Se il Sole è più basso di questo angolo, ci possono essere quanti cristalli si vuole ma non ci sarà verso di vedere un arco circumorizzontale. Si potrebbero però vedere altri fenomeni, come l’arco circumzenitale, una sorta di antitesi di quello fotografato qui, che compare molto alto in cielo quando il Sole è molto basso.

La seconda foto mostra la posizione dell’arco rispetto al Sole, che era alto 67°. Proprio perché quest’ultimo dev’essere molto alto, ci sono periodi dell’anno nei quali non si può proprio vedere l’arco: in Italia d’autunno e d’inverno il Sole non raggiunge mai l’altezza di 58°, nemmeno sopra l’assolata Sicilia! L’arco circumorizzontale è un fenomeno estivo.

Ci sono poi posti che non godono mai di un Sole alto a sufficienza e nei quali eventi come questo non possono mai essere osservati. Questi luoghi sono a latitudini molto settentrionali o molto meridionali: Glasgow, Copenaghen e Mosca sono città sul parallelo di confine settentrionale, mentre quello meridionale passa per Capo Horn (rispettivamente 55°24′ N e S).

Arco Circumorizzontale prima di essere copertoQuesta terza foto è stata scattata poco prima che l’arco sparisse. Quando l’ho individuato, sopra al monte Summano e al Colletto Grande di Velo, era molto più esteso e l’estremità sinistra non era coperta dalla paffuta nuvoletta cumuliforme che si vede nelle foto. I cirri che producevano l’arco erano sfrangiati in senso orizzontale: a un certo punto i colori arancione, giallo e azzurro sparivano e rimaneva una specie di “manina” coi soli rosso, verde e indaco. Sfortunatamente durante il tempo perso per prendere la macchina fotografica l’arco era già quasi scomparso, e il pezzetto che ho ripreso è stato visibile ancora solo per un paio di minuti.

 

Ma non è finita! Durante la stessa giornata, il 23 giugno scorso, si è visto anche un portentoso arcobaleno! Nel tardo pomeriggio e durante la prima parte della serata un cumulonembo, con associato acquazzone estivo, ha coperto interamente il cielo. Ma alle h. 20.16, mentre il Sole tramontava sui monti, si è aperta una “feritoia” nelle nuvole, poco più larga del Sole stesso, mentre da tutte le altre parti il cielo continuava ad essere nuvoloso e pioveva con media intensità. Il Sole era a quel punto ad un’altezza sull’orizzonte di appena 6°: è questa l’altezza minima che il Sole raggiunge a casa mia, se si esclude quando d’autunno sorge sulle colline che chiudono la valle verso la pianura. Proprio perché così basso, ecco che si sviluppa un arcobaleno enorme, anche se incompleto, perché la parte alta non veniva illuminata dalla striscia di sereno. Appariva in (quasi) tutti i suoi maestosi 84° di diametro e arrivava a terra praticamente verticale; lo si può vedere se lo si confronta con l’albera alta, il pioppo cipressino, dritto come un fuso. Immediatamente dopo il tramonto, circa cinque minuti dopo che era comparso, l’arcobaleno è iniziato a sparire dal basso verso l’alto, perché non c’era più il Sole a illuminarlo! Gli ultimi settori, debolissimi, sono scomparsi circa dieci minuti dopo, quando il riverbero luminoso delle nuvole si è spento. Qui sotto c’è una piccola galleria di immagini di questo vastissimo arcobaleno.

 

L'arcobaleno prima del tramonto del Sole.Arcobaleno e Albera Alta
Settore occidentale dell'arcobalenoL'arcobaleno dopo il tramonto

Ormai il mio sito è diventato una raccolta di fotografie più o meno naturalistiche. Ci sentiamo alla prossima, ciao!

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