Verso fuori.

Categoria: Fisica Pagina 2 di 8

Il tombino relativistico

La settimana scorsa ho fatto un giro nel mio liceo, per salutare (leggasi “rompere le scatole”) qualche vecchio professore. Il buon Aldo Neresini, professore di Fisica, mi ha domandato se conoscessi un paradosso relativistico relativo a uno sciatore che casca (o forse no?) dentro un buco. In altri termini, l’apparente paradosso è questo:

Un’asta lunga L scivola senza attrito su una lamina, che si può pensare come un piano infinitamente sottile. La lamina è perforata e il foro è lungo esattamente L. Per un osservatore solidale con il piano, la barra è lunga meno di L, in ragione di 1/γ, a causa della contrazione relativistica delle lunghezze. L’osservatore solidale con la lamina conclude che prima o poi, essendo più corta del buco, l’asta ci cadrà dentro. Viceversa, in un sistema di riferimento solidale con l’asta, questa misurerà L e sarà il foro ad essere contratto fino a L/γ. Ma allora la barra non può cascarci dentro, se è più lunga! Chi ha ragione?

Questa contraddizione (che in realtà non c’è) salta fuori perché siamo portati a pensare all’asta come un oggetto la cui rigidità è indipendente dal sistema di riferimento. Ma in relatività ristretta non è così, anzi, non si può nemmeno dare una vera e propria definizione di corpo rigido!

Tombino relativistico

La caduta dell’asta nel sistema di riferimento ad essa solidale prima che inizi ad accelerare. L’asta si deflette e attraversa il foro, anche se è più corto di lei.

Sorprendentemente, la descrizione corretta (con alcuna assunzioni iniziali) è quella data dall’osservatore solidale col il piano d’appoggio, ossia che la sbarra cade nel buco. Nel sistema di riferimento solidale col moto uniforme dell’asta essa non obbedisce al vincolo di rigidità e si deflette, passando per il foro. L’estremo anteriore, in questo riferimento, è il primo a cadere, quando ha già oltrepassato il margine del foro e mentre la parte posteriore della barra è ancora appoggiata sul piano. Successivamente, anche tutti gli altri punti iniziano a cadere, ma a istanti di tempo differenti l’uno dall’altro. Globalmente, il moto dell’asta ricorda quello del metallo che esce da un laminatoio a caldo…

I conti che permettono di derivare questo risultato sono riassunti in questo documento: Il tombino relativistico. Ho scritto anche uno script in Python/Matplotlib che permette di visualizzare il fenomeno al variare del parametro γ dell’asta e genera dei video o delle animazioni interattive. Potete trovare tutto questo materiale, e un collegamento a un articolo del 1961 di W. Rindler (quello delle coordinate del moto accelerato) a questo indirizzo: materiale aggiuntivo. Non mi resta che aggiungere un video, per farvi vedere come fa la sbarra ad attraversare il foro!

Inversione delle serie di potenze

Oggi torno, dopo un lungo periodo, a discutere di un argomento puramente teorico. Recentemente, un problema posto dal mio amico L mi ha portato a considerare la possibilità di invertire una serie di potenze. In altre parole, data una funzione espressa come serie di potenze in x, si vorrebbe un metodo per trovare la serie di potenze che definisce la sua inversa:

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n x^n\qquad\qquad g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}g_n x^n

g\circ f(x) = g(f(x)) = \sum_{i=1}^{+\infty}g_i \bigg({\sum_{j=1}^{+\infty}f_j x^j}\bigg)^i = x

Il problema è di una certa rilevanza poiché spesso le inverse non sono facilmente esprimibili in termini di funzioni “semplici” come quelle di partenza. Ad esempio, se si considera:

y = f(x) = x + \sin(x)

Si noterà subito che non esiste un numero finito di passaggi per trovare x in funzione di y. In effetti, tale relazione è un’equazione trascendente ed è il fulcro del problema posto dal mio amico: a lui serviva un’espressione approssimata per l’inversa, in modo da non dover ricorrere ogni volta ad un procedimento numerico per trovare una soluzione.

Ci sono molti modi per venirne a capo. Nutrendo ancora (nonostante i cinque anni di sofferenza) una passione segreta per la matematica, ho probabilmente seguito quello più teorico e avulso dalla realtà, l’unico vantaggio del quale è la sicurezza che esso tende, con l’aumentare della precisione, alla vera inversa. Naturalmente non è nulla di nuovo, cercando ben bene qualcosa in internet l’avevo pure trovato, ma scritto in modo tanto formale da risultare incomprensibile (e per queste parole mi perdoni C, un altro mio amico).

L’idea è di scrivere la funzione come serie di potenze e di determinare dai suoi coefficienti quelli dell’inversa. Dopo una giornata di conti, sono riuscito a trovare le relazioni che definiscono i coefficienti dell’inversa fino al settimo grado; per andare oltre, ho dovuto scrivere una piccola libreria in Python e metterla a punto per due giorni. Le prime relazioni sono:

{g_1} = \frac{1}{f_1}
g_2 = -\frac{f_2}{f_1^3}
g_3 = \frac{2f_2^2}{f_1^5} - \frac{f_3}{f_1^4}

Oltre alla prima, piuttosto ovvia, per ottenerle bisogna pareggiare i termini di grado uguale nello sviluppo della doppia sommatoria di cui sopra. Ciò conduce al problema delle partizioni degli interi (dove l’intero da partizionare è l’esponente del grado considerato) e alla loro rappresentazione tramite i diagrammi di Young o di Ferres. È chiaro dalle relazioni che esse valgono solo se la funzione “diretta” ha derivata diversa da zero sul punto dove è sviluppata, altrimenti l’inversa ha derivata divergente sullo stesso punto e lo sviluppo in serie di potenze intere cessa di essere possibile.

Ho scritto un breve documento dove delineo il procedimento teorico per ottenere le relazioni e risolvo il problema di x+sin(x). Potete accedervi da qui: Inversione di Serie di Potenze. Mi raccomando, non passate tutto il giorno a invertire serie di potenze, può far molto male. Non dite che non vi avevo avvertiti!

A presto!

Arco Circumorizzontale e Arcobaleno

Ho già scritto in passato dell’alone a 22°, un fenomeno ottico prodotto dalla rifrazione della luce solare sui cirri, alte nubi ghiacciate. Recentemente ho potuto osservare un altro evento inusuale, più raro del precedente e visibile solo in alcuni periodi dell’anno: è l’ arco circumorizzontale.

Frammento dell'arco circumorizzontale, 23.06.2015

Che roba è? Non si tratta di un normale arcobaleno (per quello leggete più avanti); infatti non solo non è necessario che piova, anzi per essere visibile non devono esserci nuvoloni temporaleschi in giro, ma non non è nemmeno curvo! Si presenta come una striscia orizzontale, più o meno diritta e bassa sotto il Sole, dai colori molto intensi. Affinché si formi l’arco circumorizzontale devono verificarsi due condizioni, una di carattere meteorologico e l’altra di tipo geometrico.

Il frammento di arco e la sua posizione rispetto al Sole

Bisogna che ci siano delle nubi cirriformi, ossia nubi di ghiaccio, nell’alta troposfera. I cristalli di ghiaccio che le compongono devono avere una forma esagonale piatta, come le piastrelle di certi pavimenti, ed essere disposti tutti con una delle due facce verso il basso, proprio come in un vero pavimento. Ho trovato questo carattere che mostra come si vedrebbe uno di questi cristalli dall’alto, riuscite a vederlo? ⬢

Il Sole dev’essere a più di 57,8° di altezza sull’orizzonte e illuminare il cirro, che al contrario dev’essere visto con un’angolatura bassa; questo è necessario perché la luce per poter uscire dalla faccia inferiore ed essere poi visibile deve entrare nel cristallo di lato (attraverso il bordo della “piastrella”) con un angolo molto alto, appunto più di circa 58°. Se il Sole è più basso di questo angolo, ci possono essere quanti cristalli si vuole ma non ci sarà verso di vedere un arco circumorizzontale. Si potrebbero però vedere altri fenomeni, come l’arco circumzenitale, una sorta di antitesi di quello fotografato qui, che compare molto alto in cielo quando il Sole è molto basso.

La seconda foto mostra la posizione dell’arco rispetto al Sole, che era alto 67°. Proprio perché quest’ultimo dev’essere molto alto, ci sono periodi dell’anno nei quali non si può proprio vedere l’arco: in Italia d’autunno e d’inverno il Sole non raggiunge mai l’altezza di 58°, nemmeno sopra l’assolata Sicilia! L’arco circumorizzontale è un fenomeno estivo.

Ci sono poi posti che non godono mai di un Sole alto a sufficienza e nei quali eventi come questo non possono mai essere osservati. Questi luoghi sono a latitudini molto settentrionali o molto meridionali: Glasgow, Copenaghen e Mosca sono città sul parallelo di confine settentrionale, mentre quello meridionale passa per Capo Horn (rispettivamente 55°24′ N e S).

Arco Circumorizzontale prima di essere copertoQuesta terza foto è stata scattata poco prima che l’arco sparisse. Quando l’ho individuato, sopra al monte Summano e al Colletto Grande di Velo, era molto più esteso e l’estremità sinistra non era coperta dalla paffuta nuvoletta cumuliforme che si vede nelle foto. I cirri che producevano l’arco erano sfrangiati in senso orizzontale: a un certo punto i colori arancione, giallo e azzurro sparivano e rimaneva una specie di “manina” coi soli rosso, verde e indaco. Sfortunatamente durante il tempo perso per prendere la macchina fotografica l’arco era già quasi scomparso, e il pezzetto che ho ripreso è stato visibile ancora solo per un paio di minuti.

 

Ma non è finita! Durante la stessa giornata, il 23 giugno scorso, si è visto anche un portentoso arcobaleno! Nel tardo pomeriggio e durante la prima parte della serata un cumulonembo, con associato acquazzone estivo, ha coperto interamente il cielo. Ma alle h. 20.16, mentre il Sole tramontava sui monti, si è aperta una “feritoia” nelle nuvole, poco più larga del Sole stesso, mentre da tutte le altre parti il cielo continuava ad essere nuvoloso e pioveva con media intensità. Il Sole era a quel punto ad un’altezza sull’orizzonte di appena 6°: è questa l’altezza minima che il Sole raggiunge a casa mia, se si esclude quando d’autunno sorge sulle colline che chiudono la valle verso la pianura. Proprio perché così basso, ecco che si sviluppa un arcobaleno enorme, anche se incompleto, perché la parte alta non veniva illuminata dalla striscia di sereno. Appariva in (quasi) tutti i suoi maestosi 84° di diametro e arrivava a terra praticamente verticale; lo si può vedere se lo si confronta con l’albera alta, il pioppo cipressino, dritto come un fuso. Immediatamente dopo il tramonto, circa cinque minuti dopo che era comparso, l’arcobaleno è iniziato a sparire dal basso verso l’alto, perché non c’era più il Sole a illuminarlo! Gli ultimi settori, debolissimi, sono scomparsi circa dieci minuti dopo, quando il riverbero luminoso delle nuvole si è spento. Qui sotto c’è una piccola galleria di immagini di questo vastissimo arcobaleno.

 

L'arcobaleno prima del tramonto del Sole.Arcobaleno e Albera Alta
Settore occidentale dell'arcobalenoL'arcobaleno dopo il tramonto

Ormai il mio sito è diventato una raccolta di fotografie più o meno naturalistiche. Ci sentiamo alla prossima, ciao!

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