Fuere

Verso fuori.

Un passaggio insolito

Oggi sono stato testimone di una strana congiunzione aeronautico-astronomica. Verso le ore 13.00 ho notato delle mongolfiere in cielo, che discendevano placide la vallata dirigendosi in pianura. Non è la prima volta che succede: penso siano pilotate da un gruppo di tedeschi che si diverte a fare delle trasvolate delle Alpi d’inverno.

Sequenza passaggio mongolfiera

Questa volta c’erano due mongolfiere. Una, restando lontana, ha imboccato la valle del torrente Posina e si è allontanata per di là. L’altra, proseguendo sopra la Val d’Astico, ha sorvolato i colletti di Velo puntando su Schio. È stato questo secondo pallone che si è reso protagonista di un passaggio sopra il disco solare, una specie di piccolo transito nel quale l’ombra dell’aerostato ha eclissato parte del Sole. Ne ho realizzato una piccola sequenza di foto, riprodotta qui.

È interessante notare gli effetti di diffrazione che si manifestano vicino alle intersezioni tra l’ombra della mongolfiera e il disco solare; questi sono visibili in particolar modo nella seconda e quinta immagine. Nel caso dei transiti planetari e quando ripresi con lenti a basso ingrandimento, essi danno luogo a delle forme “a goccia” del disco del pianeta transitante, difficili da fotografare. Il primo a descrivere fenomeni simili fu Leonardo: il genio toscano si accorse infatti che le ombre di due oggetti di uniscono “baciandosi” prima che gli oggetti si tocchino effettivamente.

Dev’essere bello sorvolare le Alpi in mongolfiera. Ricordo di aver visto una volta il Monte Bianco da un aeroplano di linea: fu un attimo, svettava sulle nuvole sottostanti maestoso, luccicante di neve. Chissà che paesaggi si vedranno, sospesi lassù…

Calendario 2016

Immagine del mese di giugno del calendario 2016

Quest’anno non sono riuscito a procurarmi i soliti calendari. A casa ho una tale mania per il tempo che in media ogni stanza ne ha uno; in questo sono superati solo dagli orologi, che non sono nemmeno calcolabili: ce ne sono nei corridoi, in cucina, nei bagni, in cantina, sotto la tettoia delle macchine, sui comodini, vicino ai letti, dentro ai letti,…

Ad ogni modo, non avendo trovato un valido sostituto del modello di calendario che avevamo usato sin’ora, l’ho rifatto uguale io con il software per impaginazione Scribus. Se non lo conoscete, sappiate che è davvero migliorato da quando lo usavo nel 2006 per impaginare il giornalino della mia scuola. All’epoca bisognava salvare ogni volta che si modificava il testo in un riquadro perché altrimenti all’errore di segmentazione successivo si sarebbe perso tutto quanto. Oggi mostra ancora delle leggere “stravaganze”, ma è decisamente più utilizzabile.

Se a qualcuno serve un calendario semplice con una riga lunga per ogni giorno del mese, in modo da poterci scrivere cose tipo “POF”, “Collegio Docenti”, “Visitone h. 14:00-20.30” e affini, eccolo qui: Calendario mensile 2016. Vi avviso che mancano i santi. Solstizi ed equinozi sono invece già inclusi!

Inversione delle serie di potenze

Oggi torno, dopo un lungo periodo, a discutere di un argomento puramente teorico. Recentemente, un problema posto dal mio amico L mi ha portato a considerare la possibilità di invertire una serie di potenze. In altre parole, data una funzione espressa come serie di potenze in x, si vorrebbe un metodo per trovare la serie di potenze che definisce la sua inversa:

f(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}f_n x^n\qquad\qquad g(x)=\sum_{n=1}^{+\infty}g_n x^n

g\circ f(x) = g(f(x)) = \sum_{i=1}^{+\infty}g_i \bigg({\sum_{j=1}^{+\infty}f_j x^j}\bigg)^i = x

Il problema è di una certa rilevanza poiché spesso le inverse non sono facilmente esprimibili in termini di funzioni “semplici” come quelle di partenza. Ad esempio, se si considera:

y = f(x) = x + \sin(x)

Si noterà subito che non esiste un numero finito di passaggi per trovare x in funzione di y. In effetti, tale relazione è un’equazione trascendente ed è il fulcro del problema posto dal mio amico: a lui serviva un’espressione approssimata per l’inversa, in modo da non dover ricorrere ogni volta ad un procedimento numerico per trovare una soluzione.

Ci sono molti modi per venirne a capo. Nutrendo ancora (nonostante i cinque anni di sofferenza) una passione segreta per la matematica, ho probabilmente seguito quello più teorico e avulso dalla realtà, l’unico vantaggio del quale è la sicurezza che esso tende, con l’aumentare della precisione, alla vera inversa. Naturalmente non è nulla di nuovo, cercando ben bene qualcosa in internet l’avevo pure trovato, ma scritto in modo tanto formale da risultare incomprensibile (e per queste parole mi perdoni C, un altro mio amico).

L’idea è di scrivere la funzione come serie di potenze e di determinare dai suoi coefficienti quelli dell’inversa. Dopo una giornata di conti, sono riuscito a trovare le relazioni che definiscono i coefficienti dell’inversa fino al settimo grado; per andare oltre, ho dovuto scrivere una piccola libreria in Python e metterla a punto per due giorni. Le prime relazioni sono:

{g_1} = \frac{1}{f_1}
g_2 = -\frac{f_2}{f_1^3}
g_3 = \frac{2f_2^2}{f_1^5} - \frac{f_3}{f_1^4}

Oltre alla prima, piuttosto ovvia, per ottenerle bisogna pareggiare i termini di grado uguale nello sviluppo della doppia sommatoria di cui sopra. Ciò conduce al problema delle partizioni degli interi (dove l’intero da partizionare è l’esponente del grado considerato) e alla loro rappresentazione tramite i diagrammi di Young o di Ferres. È chiaro dalle relazioni che esse valgono solo se la funzione “diretta” ha derivata diversa da zero sul punto dove è sviluppata, altrimenti l’inversa ha derivata divergente sullo stesso punto e lo sviluppo in serie di potenze intere cessa di essere possibile.

Ho scritto un breve documento dove delineo il procedimento teorico per ottenere le relazioni e risolvo il problema di x+sin(x). Potete accedervi da qui: Inversione di Serie di Potenze. Mi raccomando, non passate tutto il giorno a invertire serie di potenze, può far molto male. Non dite che non vi avevo avvertiti!

A presto!

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