Fuere – Pagina 9 – Verso fuori.

Quanto è distante l’orizzonte?

il 3 Febbraio 2015

Vi è mai capitato di seguire con lo sguardo un aeroplano, per qualche minuto? Se l’avete fatto, vi sarete certamente accorti che sembra andare fortissimo quando è proprio sopra la testa, per rallentare poi man mano che si allontana, abbassandosi verso l’orizzonte.

Ma una volta giunto all’orizzonte che accadrà? Di sicuro non si abbatterà al suolo, come l’occhio sembrerebbe suggerire: se l’aereo non è partito da poco, la sua quota sarà più o meno fissa, sui 10 km. Ma se sta ancora volando, sopra a cosa starà volando? Quanto distante sarà?

E se invece di guardare aerei salissimo noi, per quanto possibile, verso il cielo? Se dalla cima di una montagna con una buona visuale, da un picco isolato, da una svettante torre guardassimo lontano, fino a dove si spingerebbe il nostro sguardo? In altre parole, quando è lontano l’orizzonte?

La Terra dallo Spazio – Samantha Cristoforetti

La distanza dall’orizzonte non è un concetto metafisico e sebbene possieda una certa forza evocativa è una quantità fisica precisa. Già gli antichi sapevano che oltre una certa distanza non si vede più niente e che ciò ha poco a vedere con la presenza di nebbie e foschie. Il motivo per cui esiste la linea dell’orizzonte è un altro: la Terra è rotonda.

Sappiamo tutti che le persone che vivono nell’emisfero australe sono capovolte, rispetto a come siamo noi. Naturalmente non hanno la testa in basso: il loro basso è il nostro alto, ecco tutto. Mi viene in mente una striscia di Mafalda, nella quale la bambina argentina appende il suo mappamondo al contrario perché sennò “le cadono le idee dalla testa”…

Anche quando un oggetto, allontanandosi da noi, si sposta sulla superficie terrestre il suo basso cambia rispetto a quello del punto dov’era partito: in altre parole la sua verticale e la nostra iniziano a essere diverse, a formare tra loro un piccolo angolo. Ma così come non possiamo vedere i nostri ribaltati amici neozelandesi, ad un certo punto il nostro sguardo non potrà più scorgere l’oggetto: sarà la Terra stessa, con la sua forma più o meno sferica, a nascondercelo.

Ma quanto è lontano questo punto, oltre il quale la Terra si nasconde da sola? Il senso comune dice che dipenderà da quanto alti si è: non lo sanno forse tutti che per vedere lontano bisogna salire in alto? La matematica necessaria per trovare la formula corretta è piuttosto semplice, basta solo un po’ di trigonometria. O filosofi e poeti che avete letto sin’ora e che siete assaliti da un cupo timore, se non da un corrucciato fastidio, abbiate la tempra di proseguire! La conoscenza non distrugge il sentimento!

L’angolo che nel disegno è chiamato $\textstyle o$ è l’angolo massimo oltre il quale uno che guarda dalla cima dell’altezza $\textstyle h$ non vedrà più niente. Le linee che congiungono la cima di $\textstyle h$ agli ultimi due punti visibili sulla superficie sono segmenti di rette tangenti alla circonferenza; non è difficile rendersene conto: una retta può intersecare un cerchio in un punto, in due, oppure in nessuno. Se la retta che passa per $\textstyle h$ interseca due punti, il più vicino è visibile ma ci nasconde il secondo, che quindi è invisibile: guardando per terra vediamo il suolo, ma non l’Oceano Pacifico che ci sta sotto. Se non ne interseca nessuno allora stiamo guardando per aria. L’ultima direzione alla quale corrisponde un punto visibile si ha allora quando la retta interseca la circonferenza in un solo punto, e una tal retta è una tangente.

Le tangenti alla circonferenza sono sempre perpendicolari al raggio, nel punto in cui la toccano. Quindi il triangolo formato dal raggio della Terra fino al punto di tangenza, dal segmento $\textstyle R+h$ e dal segmento che congiunge l’estremo di h al punto di tangenza è rettangolo.

Ma allora si può usare un po’ di sana trigonometria per determinare l’angolo $\textstyle o$ , la cui misura in radianti, moltiplicata per il raggio terrestre R, darà la lunghezza dell’arco di circonferenza tra $\textstyle h$ e il punto di tangenza, ovvero la distanza dell’orizzonte. Se non avete chiuso i vostri libri di matematica in un polveroso scatolone da almeno due secoli, dovrebbe risultarvi chiaro che:

$\displaystyle \cos o\,=\,\frac{R}{R+h}$

$\displaystyle o\,=\,{\rm arccos} \left( \frac{R}{R+h} \right)$

$\displaystyle d_{or.}\,=\,R\cdot {\rm arccos} \left( \frac{R}{R+h} \right)$

Bene, ecco trovata la formula che stavamo cercando. Ma serve veramente a qualcosa? Conosco un paio di persone che sanno a memoria valori sparsi della funzione trascendente arcocoseno, ma calcolarla a mente richiede un po’ di conti noiosi. Meglio fare un’approssimazione e accontentarci di una formula inesatta, che compie qualche errore, ma è più semplice da maneggiare. Del resto, a chi importa se una nave invece di essere distante 10 km, è distante 10 km e 2 cm??

Devo confessarvi che non ricordo mai lo sviluppo in serie di potenze della funzione arcocoseno. Potrei sempre ricavarlo, ma lasciatemi seguire una strada meno irta di derivate: tanto sono certo che un giorno pagherò cara anche questa. Ripartiamo dalla prima equazione, quella in cui è presente il coseno di $\textstyle o$ . Del coseno mi ricordo lo sviluppo!

$\displaystyle \cos x\,=\,1-\frac{x^2}{2}+O(x^4)$

Del resto anche il membro di destra può essere rimaneggiato, in modo da essere scritto:

$\displaystyle \frac{R}{R+h}\,=\,\frac{1}{1+\frac{h}{R}}$

Ma posso sviluppare anche questo:

$\displaystyle \frac{1}{1+x}\,=\,1-x+O(x^2)$

Siccome il raggio della Terra è 6373 km, ogni altezza terrestre (e anche qualche altezza spaziale) è piccola rispetto ad esso. Mi arresto, dunque, al primo termine non costante degli sviluppi, e riscrivo l’equazione in forma approssimata:

$\displaystyle 1-2o^2\,=\,1-\frac{h}{R}$

$\displaystyle o^2\,=\,\frac{2h}{R}$

$\displaystyle o\,=\,\sqrt{\frac{2h}{R}}$

Ma la distanza sulla superficie, cioè la lunghezza dell’arco di circonferenza, è $\textstyle R$ volte l’angolo $\textstyle o$ …

$\displaystyle d_{or.}\,=\,R\cdot o\,=\,R\sqrt{\frac{2h}{R}}\,=\,\sqrt{2Rh}\,=\,\sqrt{Dh}$

$\displaystyle d_{or.}\,=\,\sqrt{Dh}$

Ecco fatto: la distanza dell’orizzonte è, in prima approssimazione, la radice del prodotto tra il diametro terrestre $\textstyle D\,\simeq\,12746\,{\rm km}$ e l’altezza da cui si guarda, ovvero, se qualcuno si ricorda ancora cos’è, la loro media geometrica. Una radice quadrata è più semplice da calcolare di un arcocoseno, ed ecco la più immediata utilità della formula approssimata.

Del resto, che approssimata lo sia appare chiaro se si considera il suo limite superiore: se uno andasse a una distanza grandissima dalla Terra, per la formula dovrebbe vederne una parte sempre più grande man mano che si sposta. Invece non è così: per quanto uno possa allontanarsi, non vedrà mai più di un emisfero contemporaneamente e il “retro” resterà sempre nascosto, proprio come della Luna non potremo mai vedere l’altra faccia, a meno di non girarle attorno.

Ma qual è l’errore che si fa quando si usa la formula? Ecco una tabellina con dei valori di altezze e di distanze degli orizzonti, per fare qualche confronto:

Chi/Cosa	h	d (radice)	d (arccos)
Naufrago in mezzo all’oceano	2 cm	509 m	509 m
Formica in cima a un filo d’erba	10 cm	1,13 km	1,13 km
Giovanni nella prateria	1,7 m	4,65 km	4,65 km
In cima all’albero di un veliero	20 m	15,97 km	15,97 km
Campanile di San Marco	100 m	35,7 km	35,7 km
Monte Priaforà	1659 m	145,41 km	145,40 km
Monte Everest	8848 m	335,82 km	335,63 km
Aereo di linea	10 km	357,0 km	356,8 km
Stazione spaziale	400 km	2258 km	2201 km
Luna	384400 km	70000 km	9907 km

L’errore massimo (per uno che guarda dalla stazione spaziale) è circa del 2,5%! La formula approssimata è molto conveniente. Amenoché non si tenti di usarla per sapere come vede la Terra la quieta Luna. In questo caso la “quota” dalla superficie non è più piccola rispetto al raggio terrestre e l’approssimazione cade: la formula semplice fornisce un risultato assurdo, maggiore della circonferenza del pianeta, mentre quella con l’intera funzione arcocoseno dà un valore corretto, che si avvicina a $\textstyle \frac{\pi}{2}\cdot D\,\simeq\,\frac{\pi}{2}\cdot 12746\,~{\rm km}=\,10010~{\rm km}$ , un quarto di circonferenza terrestre.

E voi, cosa aspettare a salire in alto per guardare lontano?

Genziane

Di Giovanni Ceribella

il 21 Giugno 2014

in Fotografie, Natura

Oggi sono andato a fare due passi sui monti vicini, dove i fitti pini mughi si sono ormai risvegliati. Qua e là resta spazio per un po’ di prato, e dove il terreno è in pendenza bisogna stare attenti a non calpestare le genziane che lo affollano, come se, curiose, s’affacciassero verso il cielo per vedere che succede.

Queste genziane, Gentiana clusii, sono frequenti sulle prealpi vicentine. Man mano che la primavera procede fioriscono sempre più in alto, sino a raggiungere le vette più alte, dove insieme a numerose altre pianticelle colorano i prati di blu, bianco, giallo e rosso.

Ma la primavera è finita, nel suo solito modo grandioso: oggi è il giorno più lungo dell’anno; l’orbita della Terra si è chiusa ancora una volta. Speriamo solo che riesca a scrivere ancora qualcosa prima del prossimo solstizio, altrimenti va a finire che il titolo del prossimo articolo sarà «Il Calicanto».

A presto!

Arcobaleno

Di Giovanni Ceribella

il 27 Febbraio 2014

in Fisica, Fotografie, Natura

Oggi ho potuto assistere ad uno splendido arcobaleno proprio dietro casa. Il fenomeno non è raro, ma è decisamente fuori stagione, perché di solito capitano frequentemente nel periodo compreso tra agosto e fine ottobre (lo stesso dei temporali). I cambiamenti climatici sono però ormai un dato di fatto, bisogna voler essere ciechi per non accorgersene: vent’anni fa, quand’ero bambino, nel fondovalle (300 m s.l.m.) nevicava ogni anno, anche se non abbondantemente, e la neve restava qualche settimana. Si è progressivamente ridotta a partire dagli anni 2000; quest’anno non solo non se n’è vista manco l’ombra, ma la temperatura non è mai scesa sotto zero!

Torniamo all’arcobaleno. Avete mai notato che per descrivere bene il fenomeno occorrono almeno quattro lingue? In Italiano si dice “Arcobaleno”, cioè un arco che è un baleno, qualcosa che compare e scompare repentinamente. In Portoghese e Spagnolo di dice “Arco-iris”, un arco con i colori dell’iride. In Francese “Arc-en-ciel”, l’arco che sta in cielo. Infine in tedesco è “Regenbogen”, l’arco di pioggia. Solo con la cittadinanza europea si riesce a mettere tutto insieme!

Qui sopra c’è una panoramica dell’arco primario, quello che si vede normalmente. Grazie alla posizione favorevole della pioggia e di un varco nelle nuvole, le gocce ancora fitte sono state investite dalla luce solare praticamente diretta, determinando dei colori molto nitidi e intensi; si è reso così possibile vedere ben quattro ordini di duplicazione delle bande di colore verde, azzurro, indaco e viola, un fenomeno dovuto alla natura ondulatoria della luce e ai conseguenti effetti d’interferenza. La foto sopra è stata realizzata a partire da cinque pose minori, scattate con una piccola fotografica compatta, e unite con il programma Hugin. Ne ho realizzato anche una seconda versione, che ha un campo inquadrato più grande; dato che non sono riuscito a decidermi su quale sia la migliore, includo anche questa.

Nelle foto soprastanti, nei punti dove l’arcobaleno termina si vede bene che esso continua anche davanti agli alberi che nascondono lo sfondo, con intensità minore. Questo fatto è significativo, perché spesso si sentono fare domande del tipo “Ma se vado vicino all’arcobaleno, cosa si vede?” oppure “Quanto distante è?”. Ebbene, con un po’ di dispiacere debbo dirvi che queste domande non hanno alcun senso: l’arcobaleno è un fenomeno puramente ottico, non è certo un oggetto che si può toccare, ma non si può nemmeno dire che è in un posto o in un altro. In altri termini, se io fossi corso fino all’angolo in fondo al campo dove l’arcobaleno sembra finire avrei solo potuto, se fortunato, vedere un altro arcobaleno ancora più in là. L’arcobaleno si forma quando le gocce d’acqua in sospensione in aria disperdono la luce solare, poco importa se sono lontane centinaia di metri o se, spruzzate con un nebulizzatore, a pochi centimetri. Più che esserci un unico arco ad una ben precisa distanza, si può meglio dire che c’è un cono (con un apertura di circa 42°) del quale l’osservatore vede una sezione, come nel disegno che ho fatto qui sotto.

L’occhio vede un solo arco, ma le gocce che disperdono la luce producendo l’arcobaleno possono essere a diverse distanze dall’osservatore, legate alla presenza di ostacoli, a quanto fitta è la pioggia nei vari punti, al modo in cui vengono proiettate la luce del Sole e le ombre delle nubi.

Come spesso accade, anche questa volta è apparso un secondo arcobaleno, a breve distanza dal primario. Ciò accade perché quando la luce entra nelle gocce d’acqua (che sono sferiche) e le attraversa disperdendosi, solo una parte esce dalla goccia al caratteristico angolo di 42° rispetto alla direzione antisolare. La frazione rimanente va incontro ad una ulteriore riflessione prima di uscire ad un angolo diverso, di circa 52°; le gocce che, rispetto all’osservatore, si trovano a quell’angolo, disperdono la poca luce che non è già fuoriuscita verso chi le guarda, generando il tenue (ma neanche tanto!) arco secondario. Ma non è tutto! In condizioni ottimali dovrebbe essere possibile osservare anche altre riflessioni, che sono però tanto deboli da non essere quasi mai visibili.

Concludo con una galleria di immagini che colgono gli aspetti che ho sin’ora elencato, solo una piccola parte di quelli coinvolti; come il fatto che il cielo tra i due arcobaleni è più scuro, o che durante alcune ore del giorno gli arcobaleni non possono fisicamente apparire. Dietro un fenomeno metereologico così familiare, e sempre bello, si nasconde una quantità enorme di interessanti fatti scientifici. L’arcobaleno ha anche il merito di essere forse l’unica occasione nella quale le persone comuni scrutano per un attimo il cielo, sempre visto come qualcosa “a prescindere” e mai indagato. Il laboratorio più grande del mondo non è a Ginevra o sotto il Gran Sasso, ma è l’Universo stesso, che tutti possono guardare. Basta volerlo.

: In questa foto si vede bene che l’arcobaleno continua anche davanti agli alberi (lontani 250 metri), perché esso non è a una distanza definita dall’osservatore: tanto le gocce vicine quanto quelle lontane contribuiscono a formare l’arcobaleno, purché siano al giusto angolo.

: Questa foto ha un campo di vista più largo rispetto alla precedente, pur mantenendo la stessa inquadratura. Si vede bene il fenomeno della moltiplicazione delle bande verde-azzurra-indaco-viola all’interno dell’arco, dovuto alla natura ondulatoria della luce.

: Anche in questa foto si vede bene la parte di arco che continua davanti alle piante. Essendo queste più vicine che in precedenza (circa 100 metri) si vede meglio l’attenuazione del colore dovuta al minor spessore di pioggia coinvolto nella dispersione della luce.

: In questa foto si vede anche un settore dell’arcobaleno secondario, con i colori invertiti, che si forma grazie alla parte minore di luce che, dopo aver inciso su gocce diverse da quelle dell’arcobaleno primario, fuoriesce non dopo una singola riflessione, ma dopo una doppia.

: Parte dell’arcobaleno in cui è molto evidente il fenomeno della moltiplicazione delle bande a lunghezza d’onda minore.